P, Q এবং R বল তিনটি যথাক্রমে ABC ত্রিভুজের BC, CA এবং AB বাহু বরাবর ক্রিয়া করে । বল তিনটির লব্ধি ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্রগামী হলে---

বলবিজ্ঞানের এই সমস্যাটি ত্রিভুজের বাহু বরাবর ক্রিয়াশীল বলসমূহের লব্ধি (Resultant force) এবং অন্তঃকেন্দ্র (Incenter) সংক্রান্ত। যখন একটি ত্রিভুজের বাহু বরাবর কতগুলো বল ক্রিয়া করে এবং তাদের লব্ধি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে যায়, তখন সেই বিন্দু সম্পর্কে বলগুলোর মোমেন্টের (Moment) বীজগণিতীয় সমষ্টি শূন্য হয়।

বিস্তারিত ব্যাখ্যা:

মনে করি, \(ABC\) একটি ত্রিভুজ যার বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(BC = a\), \(CA = b\) এবং \(AB = c\) । তিনটি বল \(P, Q, R\) যথাক্রমে \(BC, CA\) এবং \(AB\) বাহু বরাবর ক্রিয়া করছে।

১. অন্তঃকেন্দ্রের বৈশিষ্ট্য: ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র (Incenter) হলো এমন একটি বিন্দু যা থেকে ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য সমান। এই লম্বের দৈর্ঘ্যকে অন্তঃব্যাসার্ধ (Inradius), \(r\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। অর্থাৎ, অন্তঃকেন্দ্র থেকে \(BC, CA\) এবং \(AB\) বাহুগুলোর লম্ব দূরত্ব যথাক্রমে \(r, r, r\) ।

২. লব্ধি অন্তঃকেন্দ্রগামী হওয়ার শর্ত: যদি বল তিনটির লব্ধি অন্তঃকেন্দ্রগামী হয়, তাহলে অন্তঃকেন্দ্রের সাপেক্ষে এই তিনটি বলের মোমেন্টের সমষ্টি শূন্য হবে। তবে, বলের এই ধরনের সমস্যার জন্য ত্রিরৈখিক স্থানাঙ্ক (Trilinear coordinates) পদ্ধতি ব্যবহার করে একটি সাধারণ শর্ত পাওয়া যায়।

যদি \(P, Q, R\) বলগুলো যথাক্রমে \(a, b, c\) দৈর্ঘ্যের বাহু বরাবর ক্রিয়া করে, তাহলে তাদের লব্ধি যে কোনো বিন্দু \((x, y, z)\) দিয়ে অতিক্রম করার শর্ত হলো:

\[ \frac{P}{a}x + \frac{Q}{b}y + \frac{R}{c}z = 0 \] এখানে, \(x, y, z\) হলো সংশ্লিষ্ট বাহু থেকে বিন্দুর লম্ব দূরত্ব (ত্রিরৈখিক স্থানাঙ্ক)।

৩. অন্তঃকেন্দ্রের জন্য প্রয়োগ: অন্তঃকেন্দ্রের জন্য, প্রতিটি বাহু থেকে লম্ব দূরত্ব সমান এবং তা অন্তঃব্যাসার্ধ \(r\)-এর সমান। অর্থাৎ, অন্তঃকেন্দ্রের ত্রিরৈখিক স্থানাঙ্ক হলো \((r, r, r)\) (দূরত্বের সাপেক্ষে)।

এই মানগুলো উপরের শর্তে বসিয়ে পাই:

\[ \frac{P}{a}r + \frac{Q}{b}r + \frac{R}{c}r = 0 \]

যেহেতু \(r \ne 0\) (একটি বৈধ ত্রিভুজের অন্তঃব্যাসার্ধ শূন্য হতে পারে না), আমরা \(r\) দ্বারা উভয় পক্ষকে ভাগ করতে পারি:

\[ \frac{P}{a} + \frac{Q}{b} + \frac{R}{c} = 0 \]

এটিই হলো সেই শর্ত যখন \(P, Q, R\) বল তিনটির লব্ধি ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্রগামী হয়।

সুতরাং, সঠিক বিকল্পটি হলো 2. \(P/a+Q/b+R/c=0\) ।